אלגברה ליניארית

סיפורה של האלגברה הליניארית  מתחיל בהכרת קבוצות המספרים ופעולות חשבון עליהן. נעמיק ונלמד בפרט על המספרים המרוכבים, הן מנקודת מבט אלגברית והן מנקודת מבט גיאומטרית. נראה שזו דוגמה למבנה אלגברי שנקרא שדה, ונציג שדות חשובים נוספים. למשל, השדה הסופי בן 2 איברים {0,1}, המהווים את יחידת החישוב הבסיסית במדעי המחשב.

הקורס ימשיך ויעסוק בשאלה מרכזית: כיצד לפתור מערכת משוואות ליניארית מעל השדות שהכרנו. התשובה לשאלה זו עוברת דרך כלי שימושי: מטריצות. נגדיר ונכיר כלי זה, ונלמד את שיטת גאוס לפתרון מערכת משוואות ליניארית.

נלמד על תכונות שמאפיינות את קבוצת הפתרונות של מערכת משוואות ליניארית, כמוטיבציה למושג אלגברי מרכזי: מרחב וקטורי.

לאחר מכן, נמשיך לאל מבנה אלגברי חדש: מרחבים וקטורים, ונראה כיצד הם מכלילים לא מעט אובייקטים מתמטיים שהכרנו קודם כישויות עצמאיות: מטריצות, פולינומים ועוד.

נלמד מושגים כגון תלות לינארית, פרישה, בסיס וממד, ונכיר משפטים המדגימים את האלגברה הליניארית במיטבה.

משפטים ומושגים אלו ילוו אותנו בהמשך הקורס, כשנציג העתקות ליניאריות בין מרחבים וקטורים, נבין כיצד לייצג אותן באמצעות מטריצות ונבין תכונות כגון פונקציה חד-חד-ערכית, פונקציה על, ופונקציה הפיכה בהקשר האלגברי, בעזרת מושגי הגרעין, התמונה והכלי השימושי דטרמיננטה.

סוף הקורס, שהוא גם שיאו – יעסוק בשאלה מתי ניתן לייצג העתקה ליניארית בצורה פשוטה, כלומר באמצעות מטריצה אלכסונית. כדי לענות על שאלה זו נגדיר ערכים עצמיים, וקטורים עצמיים, ונעסוק בלכסון מטריצות ואופרטורים, נושא

שימושי לתחומים מודרניים רבים כגון עיבוד תמונה, למידת מכונה, חישוב קוואנטי ועוד.

לאורך כל הקורס תקבלו לצד המושגים, המשפטים וההוכחות התיאורטיות גם תרגול מעשי מקיף, הדגמות ויזואליות ואפשרות להתנסות בפתרון שאלות במערכת ממוחשבת, הנותנת פידבק מידי ללומד. מרצת הקורס, ד״ר עליזה מלק, היא מרצה מצטיינת בטכניון, בעלת ניסיון נרחב ועמוק בהוראת האלגברה הליניארית, מנגישה גם את הנושא הקשה ביותר עם הסברים בגובה העיניים ודוגמאות מעניינות, שכל הלומד בקורס יהנה מהם.